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2019-04-10 14:55:28 投稿人 : admin 围观 : 224 次 0 评论
拨动天空琴弦的三角学

[遇见数学创造小组] 作者: 心如止水(Java程序员。长于把杂乱的数学常识,简练易懂地表达出来)

阅览该文章时要结合注释来看。为了叙说的完好感,许多拓宽内容在注释上。

半卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币弦表

天文学的开展对准确的制图提出了要求,人类对角的知道也从定性开端走向定量。

研讨视点和长度之间金妍玉的联系,其实便是在研讨函数,所以用的办法也和之前谈过的乘法、对数是相同的:直接编一个表。

最早的时分托勒密用的便是弦长,不过后来这个表被印度数学家改进了,从“弦长表”改进成了“半弦表”,由于假如要用这个表解恣意三角形的话,“半弦”显着比“弦”好用许多,便是在这张表中角的“半弦”也被叫做“正弦”,其余角的“半弦”就叫做“余弦”。[1]

拨动天空琴弦的三角学

后来,印度人的半弦表经阿拉伯人之手又传回了欧洲[2],被翻译为希腊文 "sinus(sin)",意十分完美崔玉为“海湾”,所以在东方人的认识中正弦是“弓弦”,而在西方人的认识中则是“海湾”, "co" 在拉丁语里有“联合”的意思,所以 "co-sinus(cos)" 便是“余弦”。

▲ 虹湾(Sinus Iridum)是月球上西北侧的一处碰击坑

日晷和丈量金字塔的高度,都是运用卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币了直角三角形的直角边,开端直角边之间的联系便是用拉丁文“暗影”命名的,跟着数学的继续开展,概念也从具ag电子象走向笼统,15世纪之后开端用 tangere(tan) 来描绘了,这个词在拉丁文中是“触摸”的意思,而中国人把 "tan" 翻译为“正切”。这是显然是从线与圆的联系上来看的,"tan" 地点的直线和圆正好相切。

从具象到笼统

奥地利雷蒂库斯(G. J. Rheticus,1514—1574),一改曩昔用弧与弦来评论,运用直角三角形斜边与对边的比来界说角函数[6],编制了每隔 10" 的角函数表。核算机遍及之前,角函数表一向都是数学家手中必不可少的重要东西。

▲ 国内曾出书的精度为8位三角函数值表

不过这种界说办法有缺点:界说在直角三角形上,钝角的状况就不存在了,别的卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币从这个视点上了解,咱们好像很难狼性老公求轻宠对它的含义作进一步的探求。[3]董子初和将军

跟着解析几许的开展,人们发现假如在单位圆上界说,那么角函数能够用圆和三角形的线段,或许坐标之比来表明。[5]

钝角三角形的问题也就便利的处理了,由于能够把高作在负轴上;这种界说办法也使角从静态走向动态,负角就呈现了,从坐标系上来看顺时针滚动是视点削减,反之,逆时针则是视点添加。[4]

把这样得到的 x 和 y 记载下来,能够画出图画;从动态旋转的视点来看,视点是能够打破 360的,无需约束函数的界说域,所以优角就呈现了。由于视点自身是有周期的,所以函数图画也是有周期的。

这么一放,就会观察到 sin 和 cos 其实便是“二胡斐终究和谁在一同维国际的点,在一维国际上的投影”。这就很简略了解 sin 和 cos 的图画形状是“尖尖”的,由于他们相当于“把圆看扁了”;生活经验也会告刘统海诉咱们,从投影的视点看圆周运动便是忽快忽慢的。

从几许含义上可看出:

● sin 和 cos 的值域是 [-1,1],而 tan 的是整个实全身相片数集 。由于 tan 是斜率卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币,所以笔直时不存在,界说域为

● 别的,能够一眼就看出函数值的符号:由于 sin 其实便是 y,所以在角坐标上半边时成果是正的;cos 便是 x,所以在右半边是正的;tan是 sin/cos, 所以“同增异减”,在第一和第三象限是正的。

角函数的运用

角函数还能够看做“解旋”[7]的进程:把旋转拆分为平移。

所以,会在物理的运动剖析上见到它,由于卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币它能够把杂乱的曲线运动分解为简略的直线运动;你也会在受力剖析上见到他,能够把平面上的任何力都分解成笔直于平行的两个力之和(也叫“向量的平行四边形法则”)。

还能够认识到,描绘平面上恣意一点,直角坐标和视点+长度其实是等价的,这两种方式的桥梁便是角函数。

在描绘旋转(曲线)的时分,直接用旋转的量视点(弧度),比用平移的量(直角坐标)要简练便利的多,所以咱们就多了一种描绘曲线的办法,现在能够哪种便利用哪种,所以在雷达屏幕上你能够见到“极坐标”。

再举两个比如,用极坐标方程 y=1表明圆,而用 y=e^(a) 表明螺线:

当然向量和复数也都能够用这两种坐标来表明,他们的两种表明方式都能够用角函数进行改换。

三角形与圆

你会发现,很多的概念都和直角三角形扯上了联系,直角三角形为啥总是呈现?

假如从滚动的视点来说直角三角形其实是简练的,而恣意三角形是杂乱的。

➣ 为什么这样讲呢?

从头来看角和圆的界说(上一篇中谈过),假如滚动的时线段长度是可变的,那么终究构成的东西便是“恣意三角形”了,对应乱乱的轨道和无序;反之,发生的东西便是“等腰三角形”,对应91仁哥的是美丽的圆弧与有序。

为了核算的便利,咱们卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币把“等腰三角形”一份两半,构成“直角三角形”,一同也把圆弧和全弦一分两半,构成“半弦”(正弦)。

直角三角形本来便是圆的一部分(都是有序滚动发生的),只需一旦把角放到直角三角形,就能够化无序为有序,就意味着一会儿多了十分多的已知条件,暗香诀依托直角三角形往往能让问题的回答简练美丽,有助于问题的处理。

把三角形的恣意角,放到直角三角形中是十分简略的,只需兄长掰弯方案作极点到底边的垂线即可。

从这个视点上来讲:“作高”的进程,其实便是在“作弦”,时光倒流,把本来乱乱的运动变成简练的运动。所以直角三角形总是这么频频的呈现。

总结

  1. 角函数的开展也是从具象到笼统的进程:
  2. 定性 → 弦长表 → 半弦表 → 界说在直角三角形上(角函数表) → 界说在直角坐标系上
  3. 角函数是旋转和平移之间的桥梁。sin 和 cos 的作用是解旋,tan是斜率。
  4. 直角三角形是在旋转中充当了有序和无序之间的桥梁。

注释

[1] 弦长表是希腊天文学家 Hipparchus 创始的,其著作已失传,药店碧莲什么意思业绩记载于托勒密的《熊猫哥哥和功夫美少女天文学大成》一书洗瓶机课程设计。假如不知道“正弦”先后有两个意思,就难以了解“正弦”与“圆”的联系。“遇见数学”翻译过一篇文章,作者说“正弦”和“圆”的联系是偶然,或许作者对这段数学史没有了解。

[2] 阿拉伯是东西方比亚迪供货商门户的信使,托勒密的弦长表是 60进制的,由于那时只要60进制才干表明小数。印度人的创造的10进制也是阿拉伯人传到西方的,所以也叫做“阿拉伯数字”,其实阿拉伯人仅仅个翻译。

[3] 用斜边和对边之比界说角函数的源头就在于此。从称号上来看并不利于回忆,和“弦”、“割”及“切”的具象界说无关;其次,从定量上看不及单位圆和坐标系。能够用联主意辅佐回忆。

[4李瑞英退隐的本相] 在几许作图中咱们往往默许长度是正数,也便是“单向数轴”。假如承受“长度也能够是负数”,也便是“数轴”的概念,那么就钝角的问题就处理了,视点也能够为负。

别的,在寻觅复数的进程中,最要害的就从几许上解说 √-1,笛卡尔作为坐标系创造人,也没有认识到“数平面”的概念,成果寻觅复数的尽力失利了。

但是有一个人却极端挨近成功,由于他发现假如 √-1 是存在的,那么做出来的线段应该是在“上方”,这就暗示了“数平面”的存在。惋惜这个概念实在是过分笼统,复数的发现终究与他擦肩而过,这个荣誉终究被高斯取得,“数平面”也被命名为“高斯平面”。

[5] 界说在直角坐标系和单位圆上的角函数,曾呈现过 12 种,现在最常用的有 6 种,剩余的 3 种没有介绍是由于与sin/cos/tan互为倒数,他们分别是 :csc余割,sec正割,ctg余切。除非核算中常常运用,就不必符号表明,直接运用倒数表明。我找到了一张图,或许包含了12种吧,不常用的那些我没有仔细看,好像有一些的称号统一性还挺差。

[6] 叫做“角函数”而不叫做“三角函数”是为了呼应克莱因的主张。

在开端之前,我要阐明用角函数这个称号好像比习惯上用的三角函数要好,由于三角学仅仅这些函数的一个特别运用。它们自身与指数函数相相似,但其间的反函数又相似对数函数。咱们称这些反函数为测圆函数。 —— 《高观念下的初等数学》

[7] “解旋”一词借鉴于生物学中的“DNA解旋”,我以为这个词用来解说 sin 的含义是简练而恰当的。

参考资料

[1] https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/ (图2、注释图1)[2]《数学符号史》[3]《数学史》[4]《数学史通论》[5]Trigonometric Delights,邓紫霄布景 天体浴场博客Princeton Un穿越之副角也风景iversity Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (注释图2)[6]《三角函数超入门》(注释图3)[7]《虚数的故事》(注释图4)[8] https://卡地亚官网,拨动天空琴弦的三角学,美金兑人民币en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif (图6)[9] http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (图7)[10]《图解数学学习法》

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